ПРЕЛОМЛЕНИЕ ЛУЧЕЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
Сферическая поверхность О с радиусом кривизны r (рис. 9) разделяет две оптические среды с показателями преломления n и n'. Предмет расположен в точке А на расстоянии s от поверхности,
![]() |
а его изображение - в точке А' на расстоянии s' от той же поверхности. Луч света из точки А направляется на сферическую поверхность в точку М под конечным углом и. Луч падающий и луч преломленный с перпендикуляром МС образуют углы i и i'. Высота падения луча на поверхность h. Преломленный луч направляется в точку А' под углом и.
Обозначим расстояние от точек предмета А и изображения А' до центра кривизны С через q и q'.
Знаки величин указаны в соответствии с правилом знаков. Сферическая поверхность О разделяет два пространства - пространство предметов и пространство изображений.
Начальными данными для вычисления преломления луча на поверхности являются расстояние предмета от поверхности s' и угол u', под которым луч направляется на поверхность.
Для вычисления преломления луча необходимо знать значение кривизны поверхности и значения показателей преломления оптических сред, разделенных этой поверхностью
Искомыми данными являются положение изображения за поверхностью s' и угол u', под которым луч выходит из поверхности. Рассмотрим преломление действительного луча на одной сферической поверхности. Из рис. 9 следует
![]() |
Формулы (13,1) - (13,6) являются основными для вычисления преломления луча на одной поверхности.
![]() |
Если оптическая система состоит из нескольких поверхностей, то необходимо последовательно выполнить аналогичные вычисления через все поверхности. При этом u1'=u2; u2'=u3 и т д Точка изображения после первой поверхности будет являться точкой предмета для второй поверхности и т. д. Рис. 10 поясняет переход с первой поверхности на вторую (здесь и в дальнейшем преломляющая поверхность обозначается индексом, характеризующим радиус кривизны этой поверхности). Легко видеть, что
![]() |
В таком виде это уравнение называется уравнением нулевого луча.
Из уравнения (13,9) можем найти фокусные расстояния одной поверхности. Предположим, что луч идет на поверхность из бесконечности, тогда s=-∞, a s'=f'. Подставляя эти равенства в формулу (13,9), получим
![]() |
![]() |
Эту зависимость, найденную для одной поверхности, можно распространить и на систему, состоящую из ряда поверхностей.
В однородной среде фокусные расстояния оптической системы, переднее и заднее, равны по абсолютной величине и противоположны по знаку.
Если же первая и последняя оптические среды не одинаковы, что имеет место, например, если линза или объектив опущены в воду, то абсолютное значение фокусного расстояния зависит от величины радиуса кривизны первой поверхности. Отношение же переднего и заднего фокусных расстояний определяется уравнением (13,13).
Например в случае, когда линза с радиусами кривизны r1= 17,58 и r2=-21,03; d=5 и n=1,5467, имеющая фокусное расстояние /'=18,35 мм, опущена в воду так, что с водой (n=1,33) соприкасается поверхность с радиусом r1, тогда f=-35,67 и f'=26,82 мм. Если же с водой соприкасается поверхность с радиусом r2, то f=-32,95 и f'=24,77 мм. Также изменяется и местоположение изображения. В этих случаях отношение f'/f равно -1,33.
Вернемся к рис. 9 и установим зависимость между углами и и и' для нулевого луча. Эти углы в параксиальной области обозначим через α
Закон преломления напишем в виде
![]() |
![]() |
В таком виде эта формула, развернутая в схему, дает возможность наиболее просто производить вычисление прохождения нулевого луча через сложную оптическую систему.
Для вычисления хода луча, кроме того, необходимо знать формулу определения высоты h.
![]() |
Луч (рис. 11) падает на поверхность с радиусом кривизны rk на высоте hk, после преломления встречает поверхность с радиусом кривизны rk+1 на высоте hk+1. Расстояние между поверхностями dk
Так как луч нулевой, то практически расстояние между вершиной поверхности и следом перпендикуляра (высоты) на оптической оси для каждой поверхности равно нулю.
![]() |
Схема вычисления нулевого луча приведена в 41 (схема 3).
Пример 3. Определить местоположение щели спектрального прибора, освещаемого источником света с помощью конденсорной линзы, если расстояние от источника света до линзы равно 80 мм, а линза имеет конструктивные элементы r1=40 мм, r2= - 40 мм, d=5мм и n=1,5163.
|
Пример 4. Вычислить углы нулевого луча с оптической осью для случая, приведенного в примере 3.
Решение. Дано:
![]() |
![]() |
Углы нулевого луча α найдутся путем деления соответствующего γ на показатель преломления: α1= -0,5, α2=0,01075, α3=0,5319.
Обычно принято приводить α к последнему, равному 1, для чего необходимо все углы разделить на последний угол, т. е. получим окончательно α1 = -0,94; α2=0,0202; α3=1.