Волновая теория. Суперпозиция волн
Принцип суперпозиции*
В гл. 2 мы рассмотрели движение волн, образующихся при колебаниях одного простого гармонического осциллятора. Теперь рассмотрим возмущение, возникающее при одновременном действии двух или нескольких осцилляторов. Простейшая гипотеза, которую можно принять в отношении их совместного действия, заключается в следующем: если ζ1, ζ2, ζ3, и т. д. — возмущения, производимые каждым отдельным осциллятором в какой-либо точке пространства в данный момент времени, а ζ - результирующее возмущение, то
ζ = ζ1+ζ2+ζ3 +... (3.1)
Если результирующее движение описывается волновым уравнением, т. е. уравнением (2.38), то необходимо, чтобы £ тоже было решением этого уравнения. Решения волнового уравнения аддитивны, и следовательно, (3.1) есть решение волнового уравнения. Здесь следует подчеркнуть, что этот математический результат сам по себе не гарантирует, что (3.1) точно описывает эффект одновременного действия нескольких волн в данной точке. Принцип суперпозиции есть физическая гипотеза, согласно которой для световых волн возмущение (в данной точке и в данный момент времени), создающееся при прохождении ряда волн, равно алгебраической сумме возмущений, производимых каждой волной в отдельности. Уравнение (3.1) является математической формулировкой этого принципа. Высказанная гипотеза справедлива в той мере, в какой основанные на ней вычисления удовлетворительно описывают соответствующие оптические эксперименты.
Сложение гармонических колебаний
При исследовании звуковых волн было найдено, что для волн большой амплитуды скорость распространения зависит от их амплитуды. Было также установлено, что при одновременной работе двух громких источников звука разной частоты слышны их суммовой и разностный тона [2.2]. Для описания таких явлений необходимо предположить, что простая форма волн, обсуждавшихся в гл. 2, не точно передает свойства звуковых волн конечной амплитуды и что возмущение ζ возникающее при одновременном действии двух источников звука, дается соотношением
ζ= ζ1 + ζ2 + α1ζ12 3.2
где сц, а2 и а12 — константы, малые по сравнению с l/£t-.Подобные гипотезы потребовалось бы ввести, если бы соответствующие явления наблюдались и при исследовании света; однако до сих пор все